SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES CON MÉTODO ANALÍTICO Y GRÁFICO

SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES

Son aquellos sistemas en los cuales hay fuerzas con direcciones distintas pero que se cruzan en un punto determinado, ya sean sus vectores o sus prolongaciones.

Los componentes de un sistema de fuerzas concurrentes forman ángulos entre sí, que se pueden graficar en un sistema de coordenadas cartesianas (X e Y).

Para hallar la resultante en estos casos se debe trabajar con las fórmulas de seno, coseno y Pitágoras.

SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES CON 2 COMPONENTES

Para mostrar cómo se obtiene la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes de dos componentes (dos fuerzas), se muestra el siguiente ejemplo:

Sobre un cuerpo rígido actúan dos fuerzas que forman entre sí un ángulo de 50º, la F1 equivale a 50N y su ángulo respecto al eje X es 30º y la fuerza F2 equivale a 30 N y su ángulo respecto a X es de 70º.

¿Cuál es el módulo de la Resultante y su ángulo respecto al eje X?

Antes de resolver el ejercicio, primero se debe tener en cuenta las propiedades de la Resultante en este sistema:

La Resultante tiene distinta dirección que la de sus componentes (F1 y F2)

La Resultante tiene distinto Sentido que la de sus componentes.

El módulo o intensidad de la Resultante 

 
El Punto de Aplicación de la Resultante es el mismo que el punto de intersección de todas las componentes del sistema.

Para empezar a resolver el ejercicio es necesario hacer un buen diagrama con los datos del problema.

Datos del problema:
F₁= 30N; α 70º

F₂= 50N; α 20º

= 50º

RESOLUCIÓN ANALÍTICA DEL PROBLEMA

Nota: el módulo o intensidad de la resultante en un sistema de fuerzas concurrente es igual a:

 

Entonces para obtener el módulo de R, primero debemos saber las proyecciones de:

Rx

Ry

¿¿¿Cómo se hace???

1)      Se utilizan las fórmulas de las razones trigonométricas de coseno y seno en cada componente del sistema, es decir, en F1 y F2. Para mayor comprensión de las fórmulas ver la imagen siguiente:

Así:

Para F1

cos α = cateto contiguo de α / hipotenusa (RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DEL COSENO)

cos α = F1x/F1 Al despejar F1x queda

F1x = F1.cos α  Es decir:

F1x=  50N.cos 20º

Sen α = cateto opuesto de α / hipotenusa (RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DEL SENO)

Sen α = F1y/F1 Al despejar F1y queda

F1y = F1. sen α  Es decir:

F1y = 50N. sen 20º

Para F2

cos β = cateto contiguo de β / hipotenusa (RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DEL COSENO)

cos β = F2x/F2 Al despejar F2x queda

F2x = F2.cos β  Es decir:

F2x=  30N.cos 70º

Sen β = cateto opuesto de β / hipotenusa (RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DEL SENO)

Sen β = F2y/F2 Al despejar F2y queda

F2y = F2. sen β  Es decir:

F2y = 30N. sen 70º

2)      CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES DE RX y RY: Para obtener las proyecciones de Rx y Ry, se deben sumar por un lado las proyecciones de las fuerzas sobre el eje X, obteniendo con esto el valor de Rx; y por el otro lado se deben sumar las proyecciones de las fuerzas sobre el eje Y, obteniendo en este caso el valor de Ry. Se procede de la siguiente manera:

Rx = F1x + F2x

Rx = F1 . cos α + F2 . Cos β

Rx= 50N . cos 20 + 30N . cos 70

Rx = 57,24

Ry = F1y + F2y

Ry = F1 . sen α + F2 . sen β

Ry = 50N . sen 20 + 30N . sen 70

Ry = 45,29

3)      CÁLCULO DEL MÓDULO DE LA RESULTANTE: Con la  proyecciones de Rx y Ry, se obtiene el módulo de R, utilizando la fórmula del TEOREMA DE PITÁGORAS:

La cuál es:

Hipotenusa² = cateto a² + cateto b²                             (TEOREMA DE PITÁGORAS)

Utilizando esta fórmula queda

R² = Rx² + Ry²

Módulo de R = 

Módulo de R = 72,99 N

4)      OBTENCIÓN DEL ÁNGULO DE LA RESULTANTE: en este caso utilizaremos la RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DE LA TANGENTE.

Tangente de α = cateto opuesto de α / cateto contiguo de α (RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DE LA TANGENTE)

Tangente de α de R (Tg αR) = Ry / Rx

Ahora se debe despejar α R, quedando:

α R = arco Tg Ry/Rx

Se reemplazan los datos para obtener el ángulo de R:

α R = arco Tg Ry/Rx

α R = arco Tg 45,29/57,24

α R = 38º

RTA: EN EL SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES DEL PROBLEMA, EL MÓDULO DE LA RESULTANTE ES DE 72,99 N Y FORMA UN ÁNGULO DE 38º RESPECTO AL EJE X.

 

RESOLUCIÓN GRÁFICA DEL PROBLEMA

Para empezar es necesario poner escala a los valores de cada fuerza:

en el problema F1=50N y F2=30N, entonces el vector F1 puede ser representado con 5 cm (50N) y el vector de F2 será 3 cm (30N)

 

COMO SE PUEDE VER, GRÁFICAMENTE SE OBTIENE UNA RESULTANTE CUYO MÓDULO ES DE 72,99N Y EL ÁNGULO QUE FORMA CON RESPECTO AL EJE X ES DE 38º.

ESTE ES EL PORCEDIMIENTO QUE SE EMPLEA PARA OBTENER EL MÓDULO Y EL ÁNGULO DE UNA RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES DE DOS COMPONENTES.